Proyecciones Ortogonales

Proyecciones ortogonales:

Proyección ortogonal de un punto sobre la recta:

sea P un punto y sea M una recta cualquiera, se le llama proyección ortogonal de P sobre M al punto de intersección p. entre la recta M y l recta perpendicular a M que pasa por P. esta recta perpendicular se le llama proyectante de P sobre M.

Si observamos un objeto inerte y la sombra que se crea de este por la luz del sol, dependiendo del momento día  podremos observar una proyección ortogonal; en la que es sencillo notar que la posición de la sombra está siempre dependiendo la posición del sol; al sol estar a la derecha a la mañana la sombra se proyectara a la izquierda, al estar el sol a la izquierda se proyectara la sombra a la derecha  y entre estas dos al medio al medio día al sol estar justo arriba de sus rayos inciden ortogonalmentede forma perpendicular sobre nuestro objeto haciendo que la sombra se proyecte justo debajo de este.

proyecciones ortogonales: 

la proyección ortogonal de una linea I sobre la recta M es la unión de todas las proyecciones ortogonales de cada uno de los puntos de I sobre la recta .

Si se busca determinar la proyección ortogonal de una linea cualquiera sobre una recta se deben buscar las proyecciones ortogonales de su origen y su extremo; el segmento determinado por estas proyecciones será la proyección de la linea original.

Proyección de una figura sobre la recta:

La proyección de dos dimensiones origina proyecciones ortogonales de cuerpos (tres dimensiones) estas proyecciones ortogonales son figuras planas.

Traslaciones:

transformaciones en el plano:

Cuando uno se traslada de una posición a otra se habla de una transformación de en el plano que es una "una correspondencia biunívoca" sobre el plano, es decir, es una función F que asigna a cada punto de P esta función es inyectiva, es decir, que cumple con que los dos puntos tengan imágenes distintas.

Algunas de las transformaciones en el plano son traslación, rotación y simetría,  en las que siempre se conserva la forma y tamaño de la figura.

Traslación: es la imagen de un punto cualquiera a través de una traslación según un vector dado.

para ello trazamos un "vector equivalente" al dado cuyo origen sea el punto.

Traslaciones en el plano cartesiano: si queremos hallar la imagen de un punto M dado un vector de traslación U, se traza un vector equivalente partiendo de M. El punto extremo del vector trazado es la imagen de M según 

Calculo de las coordenadas de la imagen de un punto según una traslación: se utiliza la propiedad que indica que  los componentes de dos vectores equivalentes son iguales.

Traslación de un segmento: se determina hallando las imágenes de los extremos del segmento a través del mismo vector  y trazando el segmento que une a las dos imágenes.

Traslación de un angulo: para determinarla se hallan primero las imágenes del vértice y luego las imágenes de las semirrectas que conforman el angulo.

Traslación de un polígono: se halla la imagen los vértices que lo forman y luego se trazan los lados respectivos.

Rotaciones: 

en la naturaleza y en objetos rotatorios ya sea sobre un propio eje o respecto a otro como la luna con respecto a la tierra al igual que la tierra que hace el mismo movimiento.

al describirse un movimiento de rotación se genera un ángulo este tiene un lado inicial y un lado final. se dice que el angulo dirigido es positivo si el giro que transforma un lado del angulo en otro sentido contrario al de las agujas del reloj, mientras que el negativo si el sentido es igual de las agujas del reloj.

simetría axial: la simetría axial es una transformación del plano o del espacio en la cual cada punto P llamado imagen de P de manera que P y P están en igual distancia de una recta llamada eje de simetría y el segundo PP es perpendicular a dicho eje. la imagen simétrica de un segmento, dado el eje de simetría se determina hallando la imagen a cada extremo del segmento para luego trazar el segmento que une amabas imágenes.

como por ejemplo lo podemos ver en el mundo animal en el caso de las alas de las mariposas